Grade 12 Mathဆွေးနွေး လေ့လာ Grade 12 သင်္ချာ သင်ခန်းစာ

Complex number မှာ $$\mathbf{i}=\sqrt{-1}$$ က မှန်တာလား မှားတာလား။ ဆွေးနွေးပေးပါဦး

i ကို i လို့ပဲ မှတ်ပါ။ ဒါပေမယ့် ${\mathbf{i}}^2$ ကတော့ $-1$ ရတယ်လို့ သိရပါမယ်။

\documentclass[12pt,a4paper]{article}
\usepackage[margin=1in]{geometry}
\usepackage{amsmath,amssymb}
\usepackage{fontspec}
\usepackage{tcolorbox}
\usepackage{enumitem}

% Set Myanmar Font (XeLaTeX)
% အဆင်ပြေရာ မြန်မာဖောင့် (Pyidaungsu, Myanmar Text, Padauk စသည်) ထည့်သွင်းနိုင်ပါသည်
\setmainfont{Pyidaungsu}

\tcbuselibrary{skins,breakable}

\tcbset{
summarybox/.style={
colback=gray!5!white,
colframe=black!75,
fonttitle=\bfseries,
coltitle=white,
arc=2mm,
breakable,
boxrule=1pt
}
}

\begin{document}

\begin{center}
{\Large \textbf{Complex Number ဆိုင်ရာ အဓိပ္ပာယ်ဖွင့်ဆိုချက်များ ဆွေးနွေးချက် အနှစ်ချုပ်}}
\end{center}

\vspace{0.5em}

\begin{tcolorbox}[summarybox, title=၁။ $i=\sqrt{-1}$ ကို တိုက်ရိုက်မသတ်မှတ်ရခြင်း အကြောင်းရင်း]
\begin{itemize}[leftmargin=1.5em, itemsep=0.5em]
\item \textbf{သင်္ချာအလွဲများ (Paradox) ကို ရှောင်ရှားရန်:} \\
ကိန်းစစ် (Real Numbers) များ၏ $\sqrt{a}\cdot \sqrt{b}=\sqrt{ab}$ ဂုဏ်သတ္တိကို အနှုတ်ကိန်းများတွင် တိုက်ရိုက်ယူသုံးမိပါက
\[
-1 = i^2 = i \cdot i = \sqrt{-1} \cdot \sqrt{-1} = \sqrt{(-1)(-1)} = \sqrt{1} = 1
\]
ဟူသော မှားယွင်းသည့် သက်သေပြချက် (Contradiction) ဖြစ်ပေါ်စေပါသည်။

\item \textbf{Square Root ၏ Multi-valued သဘောသဘာဝ:} \\
Complex Numbers တွင် $x^2=-1$ ၏ အဖြေသည် $x=i$ နှင့် $x=-i$ တန်ဖိုးနှစ်ခု ထွက်နိုင်သောကြောင့် $\sqrt{-1}$ ဟု သတ်မှတ်ပါက ပင်မတန်ဖိုး (Principal root) ခွဲခြားရန် မသဲကွဲဘဲ အဓိပ္ပာယ်နှစ်ခွ ဖြစ်စေပါသည်။
\end{itemize}
\end{tcolorbox}

\begin{tcolorbox}[summarybox, title=၂။ ခေတ်သစ်သင်္ချာ၏ ချဉ်းကပ်ပုံ ($i=(0,1)$ နှင့် $i^2=-1$)]
\begin{itemize}[leftmargin=1.5em, itemsep=0.5em]
\item \textbf{Hamilton ၏ Ordered Pair အယူအဆ:} \\
Complex Numbers များကို စိတ်ကူးယဉ်အဖြစ် မဟုတ်ဘဲ Real Numbers ပေါ်တွင် တည်ဆောက်ထားသော စနစ်တကျ ကိန်းစစ်အတွဲ (Ordered Pairs) $(a,b)$ အဖြစ် အခြေတည်ပါသည်။

\item \textbf{တိကျခိုင်မာသော သက်သေပြချက်:} \\
Ordered pairs များ၏ မြှောက်ခြင်းသဘောတရား $(a,b)(c,d)=(ac-bd,ad+bc)$ အရ
\[
i = (0, 1) \implies i^2 = (0, 1) \cdot (0, 1) = (-1, 0) = -1
\]
ဖြစ်သဖြင့် မည်သည့် ရှေ့နောက်မညီညွတ်မှုမှ မရှိဘဲ တိကျစွာ အဓိပ္ပာယ်ဖွင့်ဆိုနိုင်ပါသည်။
\end{itemize}
\end{tcolorbox}

\begin{tcolorbox}[summarybox, title=၃။ နိုင်ငံတကာနှင့် မျက်မှောက်ခေတ် အသုံးပြုမှု]
\begin{itemize}[leftmargin=1.5em, itemsep=0.5em]
\item \textbf{$i=\sqrt{-1}$ (သမိုင်းဦးနှင့် အခြေခံအဆင့်):} \\
ရှေးဦးကာလ သုံးစွဲမှုဖြစ်ပြီး၊ ယနေ့ခေတ်တွင်လည်း အထက်တန်းအဆင့် မိတ်ဆက်သင်ကြားမှုများနှင့် အင်ဂျင်နီယာ/ရူပဗေဒ တွက်ချက်မှုများ၌ သင်္ကေတအရ လွယ်ကူစေရန် ဆက်လက်သုံးစွဲကြပါသည်။

\item \textbf{$i^2=-1$ သို့မဟုတ် $i=(0,1)$ (Pure Mathematics \& Modern Rigor):} \\
ခေတ်သစ်သင်္ချာနှင့် မြန်မာနိုင်ငံ သင်ရိုးတို့တွင် ရှေးဟောင်းအလွဲများကို ရှောင်ရှားပြီး Mathematical Rigor (တိကျခိုင်မာမှု) ရှိစေရန် အဓိက အခြေခံသတ်မှတ်ချက်အဖြစ် အသုံးပြုပါသည်။
\end{itemize}
\end{tcolorbox}

\end{document}