Grade 12 Mathဆွေးနွေး လေ့လာ Grade 12 သင်္ချာ သင်ခန်းစာ

Grade 12- Chapter (4) Vector Algebra

Example (20)

Determine whether the points $A(3,-1,4),B(2,1,1),C(4,3,1)$ and $D(-3,1,4)$ lie in the same plane.

$$\overrightarrow{AB}=\left(\begin{array}{c}2\\ 1\\ 1\end{array}\right)-\left(\begin{array}{c}3\\ -1\\ 4\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}-1\\ 2\\ -3\end{array}\right)$$
$$\overrightarrow{AC}=\left(\begin{array}{c}4\\ 3\\ 1\end{array}\right)-\left(\begin{array}{c}3\\ -1\\ 4\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}1\\ 4\\ -3\end{array}\right)$$
$$\overrightarrow{AD}=\left(\begin{array}{c}-3\\ 1\\ 4\end{array}\right)-\left(\begin{array}{c}3\\ -1\\ 4\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}-6\\ 2\\ 0\end{array}\right)$$
$$\overrightarrow{AB}\times \overrightarrow{AC}=\left(\begin{array}{c}-1\\ 2\\ -3\end{array}\right)\times \left(\begin{array}{c}1\\ 4\\ -3\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}-6+12\\ -3-3\\ -4-2\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}6\\ -6\\ -6\end{array}\right)$$$$\left(\overrightarrow{AB}\times \overrightarrow{AC}\right)\cdot \overrightarrow{AD}=\left(\begin{array}{c}6\\ -6\\ -6\end{array}\right)\cdot \left(\begin{array}{c}-6\\ 2\\ 0\end{array}\right)=-36-12+0=-48\ne 0$$
$\therefore D$ does not lie in the same plane as $A,B$ and $C$.

ရှင်းလင်းချက်

$\overrightarrow{AB}\times \overrightarrow{AC}$  သည် $\overrightarrow{AB}$   နှင့်   $\overrightarrow{AC}$   နှစ်ခု လုံးပေါ်တွင် ထောင့်မတ်ကျသော vector ဖြစ်သည်။

အကယ်၍   $D$   သည်   $A,B,C$   နှင့် plane တစ်ခုတည်း ရှိပါက $\overrightarrow{AB}\times \overrightarrow{AC}$   သည် $\overrightarrow{AD}$   ပေါ်တွင်လည်း ထောင့်မတ်ကျပါမည်။

$\overrightarrow{AB}\times \overrightarrow{AC}$   သည် $\overrightarrow{AD}$   ပေါ်တွင် ထောင့်မတ်ကျလျှင် $\left(\overrightarrow{AB}\times \overrightarrow{AC}\right)\cdot \overrightarrow{AD}=0$ ဖြစ်ရမည်။ သက်သေပြချက်အရ မဖြစ်ပါ။

ထို့ကြောင့် $A,B,C,D$ သည် plane တစ်ခုတည်းတွင် မရှိပါ။

တကယ်တော့ အဲဒါ scalar triple product လို့ ခေါ်ပါတယ်။ နှစ်ခုကို cross product မြှောက်ပြီး ကျန်တစ်ခု နဲ့ dot product မြှောက်လဒ်ရဲ့ magnitude က vector သုံးခုကြောင့် ဖြစ်တဲ့ parallelepiped ရဲ့ volume ပါ။ product = 0 ဖြစ်ရင် volume = 0 ဖြစ်တာပါ။ volume = 0 ဖြစ်တယ်ဆိုတာ အမှတ်လေးမှတ် plane တစ်ခုတည်းရှိတာကို ပြတာပါ။ volume က zero မဟုတ်ရင်တော့ plane တစ်ခုတည်း မဟုတ်တော့ဘူးပေါ့

@Banner thanks Sir!